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——飞机是怎么起飞的?——
  
      飞机是怎么起飞的?经常会被问到一个问题:鉴于很多人都对这个事情感兴趣,我们就在尽量少用公式的前提下来仔细分析一下其中的原理。

  我们先来看一下小鸟是怎么飞行的:

  上面这个图描述的是鸟类飞行最主要的形态,翅膀向下扇动,由于空气存在惯性,翅膀下部的空气不会立马跟随翅膀的向下运动,空气被压缩,气压升高,同样的道理,翅膀上部气压变低,这时翅膀上下部气压不同形成压力差,产生升力。这个是比较好理解的,人们甚至能做出机器鸟来自由飞翔,感兴趣的可以看一下TED的视频,链接如下:

  当然,鸟类还有另外一个动作,即使不再扇动翅膀,也能飞行——滑翔,此时并没有明显的压缩空气行为,那升力又是怎么来的呢?——其实飞机的飞行就可以看成鸟在滑翔,这其中蕴藏着什么秘密呢?

  如果把飞机看成是一个刚体,那自然就会有一个质心(上图中cg点),可在质心上建立一个坐标系  [公式] 来描述飞机的运动,这样飞机的姿态就可以由6个自由度来描述,三个平动( [公式] )以及三个转动:绕 [公式] 轴称为滚转(Roll),绕 [公式] 轴称为俯仰(Pitch),绕 [公式] 轴称为偏航(Yaw)。

  很容易确定,飞机的升力是来自于翅膀,也就是机翼,那机翼满足什么条件才能提供升力呢?要了解这些我们还需要以下基本知识。

  势流分析

  流体的流动是遵循纳维-斯托克斯方程的,但是到目前为止,人类还没有搞定这个方程,因此,我们只能对这个方程简化。比如对于飞机周围的流体(紧贴飞机翼面表面的流体除外)就可以看成是无旋无粘不可压缩流体,这样我们就可以将纳维-斯托克斯方程简化到我们能求解的程度。

  2.1均匀流动

  均匀流动是最简单的一种流动了,就是各处的流动速度都一样,平静的小河,和煦的微风,都可以简单的看成是均匀流动。

  均匀流动的数学模型如下:

  其中箭头代表流动方向,直线代表流动轨迹。

  2.2 点源和点汇

  除了均匀流动,还有一种常见的模型就是喷泉,能在某一点处产生速度,然后四散开来。喷泉中心的水泵可以看成是水流速度产生的源动力,这种模型称之为点源模型。

  其抽象的数学模型如下:

  很容易发现点源有点像电磁学中的正电荷,那负电荷又对应什么呢?——点汇。可想想象成是一个水洞,如下图所示

  其数学模型如下:

  2.3 偶极流

  前面我们介绍了点源和点汇,如果把他们放在一起会怎么样呢?我们可以用比奥-萨伐尔公式进行叠加,假设点源和点汇的强度一致,叠加后的结果如下:

  同样,箭头表示速度的方向,曲线表示流动的轨迹。现在我们要更近一步,假设点源和点汇有一定的距离,之间隔着一层板,让点源出来的流体无法直接流入点汇,然后再让点源和点汇无限接近,隔板的大小也无限接近,这样从点源出来的的流体会绕一个大圈子流入点汇之中,这中模型称之为偶极流模型。无限小的磁铁就是一个偶极子,磁力线从一个极出来,绕一个圈后到另一个终止。

  2.4 均匀流绕圆柱运动

  现在假设均匀流动模型和点源流动模型叠加在一起后会是怎么样呢?想象力丰富的童鞋可以尝试一下,直接相加就可以哦,示意图如下:

  同理,均匀流动模型和点汇流动模型叠加示意图如下:

  可见,点源对于来流有扩散作用,而点汇对来流有吸附作用,那均匀流动和偶极流叠加会出现什么呢?见下图:

  下图是试验中测试圆柱扰流的形态,可见和均匀流动和偶极流叠加之后是一致的,因此我吗就可以用均匀流动和偶极流叠加来求解圆柱绕流运动。

  马格努斯效应(Magnus effect)

  说到马格努斯效应,我们其实是经常见到的,特别是在体育比赛中,先拿我们的国球乒乓球来说。大家都知道,打乒乓球的时候,直球基本上很容易接的,如果来球带点旋度就没那么容易了,必须要准确判断是上旋、下旋还是左旋、右旋,只有确定旋转方向,才能较为准确的估算球的轨迹。

  当然,足球场上也少不了马格努斯效应。你要是经常观看足球比赛的话,就可能见到过罚前场直接任意球。这时候,通常是守方五六个球员在球门前组成一道“人墙”。挡住进球路线。进攻方的主罚队员,起脚一记劲射,球绕过了人墙,眼看要扁迷球门飞出,却又沿弧线拐过弯来直入球门,这样就会让守门员措手不及,这就是“香蕉球”。

  足球会在空中沿弧线飞行,这是什么原理呢?在踢“香蕉球”的时候,运动员并不是拔脚踢中球的中心,而是要稍稍偏向一侧的,同时用脚背摩擦足球,使球在空气中前进的同时还不断的旋转。

  当然,我们还可以看一个更直观的实验。在一个峡谷的高处,往下抛篮球,在没风等情况下篮球应该做自由落体运动,这个很好验证。但是,倘若在抛出的瞬间,给篮球增加一些旋转,就会发现球会明显走出一个曲线来,而且每次试验都能复现这个情况。

  这个效应是德国科学家马格纳斯于1852年发现的,故得名。在静止粘性流体中等速旋转的圆柱,会带动周围的流体作圆周运动,使得物体一侧的流体速度增加,另一侧流体速度减小。根据伯努利定理,流体速度增加将导致压强减小,流体速度减小将导致压强增加,这样就导致旋转物体在横向的压力差,并形成横向力。同时由于横向力与物体运动方向相垂直,因此这个力主要改变飞行速度方向,即形成物体运动中的向心力,因而导致物体飞行方向的改变。具体如下图所示。

  机翼升力是怎么产生的

  现在需要总结一下前面的内容了:把均匀流动和偶极流叠加,就可以得到均匀流绕圆柱流动模型,由于模型的对称性,我们很容易的到,在圆柱的上下两部分的速度分布也是对称的,因此压力也是对称的,也就是说,圆柱本身是不会产生升力的。

  由马格努斯效应我们又知道,如果将圆柱旋转起来,比方说顺时针旋转,这时圆柱的上端转速与来流的速度一致,流体速度会增加,压强会减小(伯努利定理);相反,圆柱下端圆柱速度方向与来流相反,流体速度减小,压强增加。这时圆柱上下端产生压差,升力产生。

  此处就会出现一个问题:到底是什么原因产生了升力?——是圆柱旋转吗?从前面的分析,我们知道升力的是由于压差,压差是因为速度有差异,也就是说,如果有其他渠道使圆柱上下端产生速度差的话,也能产生升力。圆柱旋转只是产生速度差的方式之一。

  如果不采用圆柱,采用一个非对称的形式,比如采用下图所示的的翼型,直觉上来看,上下两部分的速度分布也是不一样的,应该也会产生升力。

  那怎么来表示这种速度的不同呢?专门有一个术语,那就是环量(circulation),流体的速度沿着一条闭曲线的路径积分,用 [公式] 表示。因此,我们可以说,环量的存在是升力产生的必要条件。

  实际上呢,均匀流绕圆柱流动和我们常见的机翼表面的气体流动本质上是一致的,这可以通过茹科夫斯基变换(Joukowsky transformation)来实现。假设以 [公式] 为变量时,拓扑为圆柱形,则可通过以下变换

  [公式]

  拓扑则变为常见的翼型,称之为茹科夫斯基翼型,因为均匀流绕圆柱流动是有解析解的,因此也可以通过这种方式获得茹科夫斯基翼型的解析解。

  可以通过以下链接直观感受以下茹科夫斯基变换是怎么变化的。

  可能有的童鞋会提出异议:有的飞机翼型是对称的啊,为啥也能产生升力,这就牵扯到另外一个重要的概念:攻角。

  攻角(英文:Attack Angle ),也称迎角,是指翼弦线(Chord Line)与流体方向之间的夹角。当攻角为零时,对称翼型确实不产生升力;由于对称翼型只是关于翼弦线对称,当攻角不为零时,此时翼弦线与风速方向不再一致,失去了对称性,因此也能产生环量,产生升力。

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